Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства и методика их решений. Учебная работа № 337342

Учебная работа № 337342. Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства и методика их решений

Выдержка из похожей работы

…

Виды тригонометрических уравнений (2)

…….
— p/4)
= 1/2,
отсюда по формуле решения уравнения
sinx =
а нахо­дим

3х
— p/4
= (-1)n
arcsin 1/2 + np,
nÎZ.

Зх
— p/4
= (-1)n
p/6
+ np,
nÎZ;
3x =
(-1)n
p/6
+ p/4
+ np,
nÎZ;

x
= (-1)n
p/18
+ p/12
+ np/3,
nÎZ

Если
k
=
2n
(четное), то х
=
p/18
+ p/12
+ 2pn/3,
nÎZ.

Если
k
= 2n + 1
(нечетное число), то х
= — p/18
+ p/12
+ ((2pn
+ 1)p)/3
=

=
p/36
+ p/3
+ 2pn/3
= 13p/36
+ 2pn/3,
nÎz.

Ответ:
х1
=
5p/6
+ 2pn/3,nÎZ,
x2
= 13p/36
+ 2pn/3,
nÎZ,

или
в градусах: х, =
25° + 120 ·
n,
nÎZ;
x,
= 65° + 120°·
n,
nÎZ.

Пример
2. sinx
+ Öз
cosx
= 1.

Решение.
Подставим вместо Öз
значение
ctg
p/6,
тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg p/6
cosx = 1;
sinx +
(cosp/6)/sinp/6
·
cosx = 1;

sinx sin p/6
+ cos p/6
cosx
= sin p/6;
cos(x —
p/6)
= 1/2.

По
формуле для уравнения
cosx =
а находим

х
— p/6
= ± arccos 1/2 + 2pn,
nÎZ;
x = ± p/3
+ p/6
+ 2pn,
nÎZ;

x1 = p/3
+ p/6
+ 2pn,
nÎZ;
x1 = p/2
+ 2pn,
nÎZ;

x2 = — p/3
+ p/6
+ 2pn,
nÎZ;
x2 = -p/6
+ 2pn,
nÎZ;

Ответ:
x1 = p/2
+ 2pn,
nÎZ;
x2 = -p/6
+ 2pn,
nÎZ.

2.
Двучленные уравнения:

Пример
1. sin3x
= sinx.

Решение.
Перенесем sinx
в левую часть уравнения и полученную
разность преобразуем в произведение.
sin3x
— sinx
== 0; 2sinx
·
cos2x
= 0.

Из условия
равенства нулю произведения получим
два простейших уравнения.

sinx
= 0 или
cos2x = 0.

x1
= pn,
nÎZ,
x2 = p/4
+ pn/2,
nÎZ.

Ответ:
x1 = pn,
nÎZ,
x2 = p/4
+ pn/2,
nÎZ.

3.
Разложение на множители:

Пример
1. sinx + tgx
= sin2x
/ cosx

Решение.
cosx ¹
0; x ¹
p/2
+ pn,
nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin2x
/ cosx . Умножим
обе части уравнения на cosx.

sinx ·
cosx + sinx — sin2x
= 0; sinx(cosx + 1 — sinx) = 0;

sinx = 0 или
cosx — sinx +1=0;

x1 = pn,
nÎZ;
cosx — cos(p/2
— x) = -1; 2sin p/4
·
sin(p/4
— x) = -1;

Ö2
·
sin(p/4
— x) = -1; sin(p/4
-x) = -1/Ö2;
p/4
— x = (-1) n+1
arcsin 1/Ö2
+ pn,
nÎZ;

x2 = p/4
— (-1) n+1
·
p/4
— pn,
nÎZ;
x2 = p/4
+ (-1) n
·
p/4
+ pn,
nÎZ.

Если
n =
2n
(четное), то x
= p/2
+ pn,
если n
= 2n
+ l
(нечетное), то x
= pn.

Ответ:
x1 = pn,
nÎZ;
x2 = p/4
+ (-I)n
·
p/4
+ pn,
nÎZ.
4.
Способ подстановки

Пример
1. 2 sin2x
= 3cosx.

Решение.
2sin2x
— 3cosx = 0; 2 (l — cos2x)
— 3cosx = 0; 2cos2x
+ 3cosx — 2 = 0.

Пусть
z = cosx, |z| £
1. 2z2 +
32z — 2=0.

Д
= 9+16 = 25; ÖД
= 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2;
z2
= (-3-5)/ 4 = -2 —

-не
удовлетво­ряют условию для z.
Тогд
…