|
Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике.
Фрагменты работы:
1. Определение эконометрики. Задачи эконометрики
Эконометрикой называется наука, позволяющая анализировать связи между различными экономическими показателями на основании реальных статистических данных с применением методов теории вероятностей и математической статистики. С помощью эконометрики выявляют новые, ранее неизвестные связи, уточняют или отвергают гипотезы о существовании определенных связей между экономическими показателями, предлагаемые экономической теорией.
Основная цель эконометрики заключается в модельном описании конкретных количественных взаимосвязей, обусловленных общими качественными закономерностями, выявленными в экономической теории.
…
б) задачи, решаемые на мезоуровне (уровень отраслей, регионов);
в) задачи, решаемые на микроуровне (уровень фирмы, семьи, предприятия);
3) классификация задач по профилю изучаемой экономической системы:
а) рынок;
б) инвестиционная, социальная, финансовая политика;
в) ценообразование;
г) распределительные отношения;
д) спрос и потребление;
е) отдельно выделенный комплекс проблем.
2. Основные математические предпосылки эконометрического моделирования. Закон больших чисел, неравенство и теорема Чебышева
Основными математическими предпосылками эконометрического моделирования являются теоремы Чебышева, Бернулли и Ляпунова. Совокупность этих теорем носит общее название закона больших чисел.
На практике исследователи часто сталкиваются с таким комплексом условий, при осуществлении которого совокупное поведение достаточно большого количества случайных величин почти утрачивает случайный характер и приобретает определённые закономерности. Поэтому для решения подобных задач необходимо знать данный подобный комплекс условий, вследствие которого результат совокупного воздействия количества случайных факторов почти не зависит от случая. В этом случае опираются на закон больших чисел.
Для рассмотрения теоремы Чебышева вначале необходимо доказать неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева справедливо как для дискретных, так непрерывных случайных величин. Рассмотрим его на примере дискретных случайных величин.
Предположим, что случайная дискретная величина X подчиняется закону распределения вида:
…
Тогда ошибка а, возникающая в ходе наблюдения случайной величины Х, может быть представлена с помощью выражения:
а=f(X1,X2,…,Xn),
где f– это закономерность образования ошибки.
В связи с тем, что ошибка наблюдений а – величина случайная, то для наиболее точной характеристики данной величины необходимо знать закон распределения её вероятностей. Данная задача решается с помощью теоремы А.М. Ляпунова, также известной под названием центральной предельной теоремы. В качестве одной из математических предпосылок эконометрического моделирования выступает следствие из теоремы Ляпунова.
Следствие теоремы Ляпунова. Если случайная величина Х является суммой очень большого числа попарно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то случайная величина Х подчиняется закону распределения, который близок к нормальному закону распределения вероятностей случайной величины.
Если суммарную ошибку наблюдений рассматривать как сумму очень большого числа попарно независимых частных ошибок, следовательно, то можно сделать вывод, что суммарная ошибка подчиняется закону распределения, который близок к нормальному закону распределения вероятностей.
4. Виды эконометрических моделей
Главным инструментом эконометрического исследования является модель. Выделяют три основных класса эконометрических моделей:
1) модель временных рядов;
2) модели регрессии с одним уравнением;
3) системы одновременных уравнений.
Моделью временных рядов называется зависимость результативной переменной от переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.
К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от времени, относятся:
а) модель зависимости результативной переменной от трендовой компоненты или модель тренда;
б) модель зависимости результативной переменной от сезонной компоненты или модель сезонности;
в) модель зависимости результативной переменной от трендовой и сезонной компонент или модель тренда и сезонности.
К моделям временных рядов, характеризующих зависимость результативной переменной от переменных, датированных другими моментами времени, относятся:
а) модели с распределённым лагом, объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений факторных переменных;
б) модели авторегрессии, объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от предыдущих значений результативных переменных;
в) модели ожидания, объясняющие вариацию результативной переменной в зависимости от будущих значений факторных или результативных переменных.
Кроме рассмотренной классификации, модели временных рядов делятся на модели, построенные по стационарным и нестационарным временным рядам.
Стационарным временным рядом называется временной ряд, который характеризуется постоянными во времени средней, дисперсией и автокорреляцией, т. е. данный временной ряд не содержит трендовой и сезонной компонент.
Нестационарным временным рядом называется временной ряд, который содержит трендовую и сезонную компоненты.
Определение. Моделью регрессии с одним уравнением называется зависимость результативной переменной, обозначаемой как у, от факторных (независимых) переменных, обозначаемых как х1,х2,…,хn. Данную зависимость можно представить в виде функции регрессии или модели регрессии:
y=f(x,?)=f(х1,х2,…,хn, ?1…?k)
где ?1…?k – параметры модели регрессии.
Можно выделить две основных классификации моделей регрессии::
а) классификация моделей регрессии на парные и множественные регрессии в зависимости от числа факторных переменных;
б) классификация моделей регрессии на линейные и нелинейные регрессии в зависимости от вида функции f(x,?).
В качестве примеров моделей регрессии с одним уравнением можно привести следующие модели:
а) производственная функция вида Q=f(L,K), выражающая зависимость объёма производства определённого товара (Q) от производственных факторов – от затрат капитала (К) и затрат труда (L);
б) функция цены Р=f(Q,Pk), характеризующая зависимость цены определённого товара (Р) от объема поставки (Q) и от цен конкурирующих товаров (Pk);
в) функция спроса Qd=f(P,Pk,I), характеризующая зависимость величины спроса на определённый товар (Р) от цены данного товара (Р), от цен товаров-конкурентов (Pk) и от реальных доходов потребителей (I).
Системой одновременных уравнений называется модель, которая описывается системами взаимозависимых регрессионных уравнений.
Системы одновременных уравнений могут включать в себя тождества и регрессионные уравнения, в каждое из которых могут входить не только факторные переменные, но и результативные переменные из других уравнений системы.
Регрессионные уравнения, входящие в систему одновременных уравнений, называются поведенческими уравнениями. В поведенческих уравнениях значения параметров являются неизвестными и подлежат оцениванию.
Основное отличие тождеств от регрессионных уравнений заключается в том, что их вид и значения параметров известны заранее.
Примером системы одновременных уравнений является модель спроса и предложения, в которую входит три уравнения:
а) уравнение предложения: =а0+а1*Рt+a2*Pt-1;
б) уравнение спроса: =b0+b1* Рt+b2*It;
в) тождество равновесия: QSt = Qdt,
где QSt – предложение товара в момент времени t;
Qdt – спрос на товар в момент времени t;
Рt – цена товара в момент времени t;
Pt-1 – цена товара в предшествующий момент времени (t-1);
It– доход потребителей в момент времени.
В модели спроса и предложения выражаются две результативные переменные:
а) Qt– объём спроса, равный объёму предложения в момент времени t;
б) Pt– цена товара в момент времени t.
5. Классификация эконометрических моделей
Общая классификация эконометрических или экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков, но с развитием экономико-математических исследований проблема классификации данных моделей всё более усложняется. Помимо появления новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификаций, также идёт процесс интеграции моделей различных типов в более сложные, комбинированные модельные конструкции.
Рассмотрим несколько ключевых классификаций эконометрических моделей:
1) классификация эконометрических моделей по целевому назначению:
а) теоретико-аналитические модели, которые используются при исследовании общих свойств и закономерностей экономических процессов;
б) прикладные модели, которые используются при решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления);
Также эконометрические модели могут быть использованы при исследовании различных сторон народного хозяйства и его отдельных частей.
2) классификация эконометрических моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике. При этом выделяются:
а) модели народного хозяйства в целом и его отдельных подсистем-отраслей, регионов и т. д.;
б) комплексы моделей производства и потребления;
в) комплексы моделей формирования и распределения доходов;
г) комплексы моделей трудовых ресурсов;
д) комплексы моделей ценообразования;
е) комплексы моделей финансовых связей и др.
3) классификация эконометрических моделей на дескриптивные и нормативные модели:
а) дескриптивные модели предназначены для объяснения наблюдаемых фактов или для построения вероятностного прогноза. В качестве примера дескриптивной модели можно привести производственные функции и функции покупательного спроса, построенные на основе обработки статистических данных;
б) нормативные модели отвечают на вопрос «как это должно быть?», т. е. предполагают целенаправленную деятельность. В качестве примера нормативной модели можно привести модели оптимального планирования, характеризующие тем или иным образом цели экономического развития, возможности и средства их достижения;
4) классификация эконометрических моделей по характеру отражения причинно-следственных связей. При этом выделяют:
а) модели жестко детерминистские;
б) модели, в которых учитываются факторы случайности и неопределенности.
Вследствие перехода от жёстко детерминированных моделей к моделям второго типа, были разработаны реальные возможности успешного применения более совершенной методологии моделирования экономических процессов, учитывающих факторы случайности и неопределённости, а именно:
а) проведение многовариантных расчетов и модельных экспериментов с вариацией конструкции модели и ее исходных данных;
б) изучение устойчивости и надежности получаемых решений;
в) выделение зоны неопределенности;
г) включение в модель резервов;
д) применение приемов, повышающих приспособляемость (адаптивность) экономических решений к вероятным и непредвиденным ситуациям
В последнее время широко применяются эконометрические модели, непосредственно отражающие стохастичность и неопределенность экономических процессов. Данные модели используют соответствующий математический аппарат: теорию вероятностей и математическую статистику, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания, теорию случайных процессов.
5) Классификация эконометрических моделей по способам отражения фактора времени. При этом выделяют:
а) статические модели, характеризующие исследуемую зависимость между переменными на определённый момент времени;
б) динамические модели, характеризующие изменение экономических процессов во времени.
6. Этапы эконометрического моделирования. Проблемы, решаемые при эконометрическом исследовании
Выделяют семь основных этапов эконометрического моделирования:
1) постановочный этап, в процессе осуществления которого определяются конечные цели и задачи исследования, а также совокупность включённых в модель факторных и результативных экономических переменных. При этом включение в эконометрическую модель той или иной переменной должно быть теоретически обоснованно и не должно быть слишком большим. Между факторными переменными не должно быть функциональной или тесной корреляционной связи, потому что это приводит к наличию в модели мультиколлинеарности и негативно сказывается на результатах всего процесса моделирования;
2) априорный этап, в процессе осуществления которого проводится теоретический анализ сущности исследуемого процесса, а также формирование и формализация известной до начала моделирования (априорной) информации и исходных допущений, касающихся в частности природы исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих в виде ряда гипотез;
3) этап параметризации (моделирования), в процессе осуществления которого выбирается общий вид модели и определяется состав и формы входящих в неё связей, т. е. происходит непосредственно моделирование.
К основным задачам этапа параметризации относятся:
а) выбор наиболее оптимальной функции зависимости результативной переменной от факторных переменных. При возникновении ситуации выбора между нелинейной и линейной функциями зависимости, предпочтение всегда отдаётся линейной функции, как наиболее простой и надёжной;
б) задача спецификации модели, в которую входят такие подзадачи, как аппроксимация математической формой выявленных связей и соотношений между переменными, определение результативных и факторных переменных, формулировка исходных предпосылок и ограничений модели.
4) информационный этап, в процессе осуществления которого происходит сбор необходимых статистических данных, а также анализируется качество собранной информации;
5) этап идентификации модели, в ходе осуществления которого происходит статистический анализ модели и оцененивание неизвестных параметров. Данный этап непосредственно связан с проблемой идентифицируемостимодели, т. е. ответа на вопрос «Возможно ли восстановить значения неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным в соответствии с решением, принятым на этапе параметризации?». После положительного ответа на этот вопрос решается проблема идентификации модели, т. е. реализуется математически корректная процедура оценивания неизвестных параметров модели по имеющимся исходным данным;
6) этап оценки качества модели, в ходе осуществления которого проверяется достоверность и адекватность модели, т. е. определяется, насколько успешно решены задачи спецификации и идентификации модели, какова точность расчётов, полученных на её основе. Построенная модель должна быть адекватна реальному экономическому процессу. Если качество модели является неудовлетворительным, то происходит возврат ко второму этапу моделирования;
7) этап интерпретации результатов моделирования.
К наиболее распространённым эконометрическим моделям относятся:
1) модели потребительского и сберегательного потребления;
2) модели взаимосвязи риска и доходности ценных бумаг;
3) модели предложения труда;
4) макроэкономические модели (модель роста);
5) модели инвестиций;
6) маркетинговые модели;
7) модели валютных курсов и валютных кризисов и др.
Эконометрическое исследование связано с решением следующих проблем:
1) качественный анализ связей экономических переменных, т. е. определение зависимых (yi) и независимых (хi) переменных;
2) изучение соответствующего раздела экономической теории;
3) подбор данных;
4) спецификация формы связи между yi и хi;
5) оценка неизвестных параметров модели;
6) проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты (гипотезы о средней дисперсии и ковариации);
7) анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных, оценка ее статистической значимости, определение переменных, ответственных за мультиколлинеарность;
8) введение фиктивных переменных;
9) выявление автокорреляции;
10) выявление тренда, циклической и случайной компонент;
11) проверка остатков модели на гетероскедастичность;
12) анализ структуры связей и построения системы одновременных уравнений;
13) проверка условия идентификации;
14) оценка параметров системы одновременных уравнений;
15) проблемы моделирования на основе системы временных рядов;
16) построение рекурсивных моделей, авторегрессионных моделей;
17) выработка управленческих решений
18) прогноз экономических показателей, характеризующих изучаемый процесс;
19) моделирование поведения процесса при различных значениях независимых (факторных) переменных.
7. Сбор статистических данных для оценивания параметров эконометрической модели
Первым этапом при проведении эконометрического исследования является сбор статистических данных об анализируемом объекте или процессе в виде конкретных значений эндогенных переменных и предопределенных переменных, входящих в спецификацию модели. Данная информация необходима для определения оценок неизвестных коэффициентов, входящих в эконометрическую модель.
Сбором статистических данных называется процесс получения исходных данных об элементах исследуемой совокупности и их свойствах, которые в дальнейшем становятся предметом статистической обработки и анализа.
В связи с многообразием статистических наблюдений, их принято классифицировать по следующим признаками:
1) по форме организации;
2) по времени регистрации фактов;
3) по признаку полноты охвата элементов изучаемой совокупности.
По форме организации выделяют отчётность и специально организованные статистические наблюдения.
Отчётностью называется основная организационная форма статистического наблюдения, которая состоит в сборе сведений от предприятий, учреждений и организаций о различных сторонах их деятельности на специальных бланках, называемых отчётами. В зависимости от продолжительности периода, относительно которого составляется отчётность, выделяют основную и текущую отчётность.
Основной отчётностью называется организационная форма статистического наблюдения, которая содержит наиболее широкий круг показателей, характеризующих все стороны деятельности предприятия. Основная отчётность также называется годовой.
Текущей отчётностью называется организационная форма статистического наблюдения, которая представляется предприятиями в течение года за различные по продолжительности промежутки времени.
По той причине, что существуют данные, которые принципиально невозможно получить на основе отчётности и данные, которые нецелесообразно включать в неё, используются специально организованные статистические наблюдения – различного рода обследования и переписи.
Статистическим обследованием называется такая форма специально организованного статистического наблюдения, при котором исследуемая совокупность явлений подвергается наблюдению в течение определённого периода времени.
Переписью называется такая форма специально организованного статистического наблюдения, при котором исследуемая совокупность явлений наблюдается на какую-либо дату.
По признаку времени регистрации фактов в эконометрике различают текущее (непрерывное) и дискретное (прерывное) статистическое наблюдение.
Текущим (непрерывным) статистическим наблюдением называется наблюдение, которое осуществляется во времени непрерывно. При этом отдельные явления, факты, события регистрируются по мере их возникновения.
Дискретным (прерывным) статистическим наблюдением называется наблюдение, при котором наблюдаемые явления, факты, события регистрируются через периоды времени, равной или неравной продолжительности. Дискретное наблюдение может быть периодическим и единовременным.
Периодическим наблюдением называется такая форма прерывного наблюдения, которая осуществляется через периоды времени равной продолжительности.
Единовременным наблюдением называется такая форма прерывного наблюдения, которое осуществляется через периоды времени неравной продолжительности или имеющие разовый характер.
В соответствии с признаком полноты охвата элементов изучаемой совокупности явлений, фактов, событий статистические наблюдения делятся на сплошные и несплошные наблюдения.
Сплошным наблюдением называется такая форма статистического наблюдения, при использовании которой учитываются все без исключения явления, факты, события, входящие в исследуемую совокупность.
Несплошным наблюдением называется такая форма статистического наблюдения, при использовании которой учитывается только некоторая часть явлений, фактов, событий, входящих в исследуемую совокупность.
Объективные причины использования несплошного наблюдения:
1) физическая невозможность или нецелесообразность осуществления сплошного наблюдения;
2) ограниченность исследователей во времени или средствах.
Выделяют несколько основных разновидностей несплошного наблюдения:
1) обследование основного массива характеризуется тем, что та часть исследуемой совокупности, которая подлежит наблюдению, устанавливается заранее. При этом отобранная часть единиц является преобладающей в объеме исследуемого объекта;
2) выборочное наблюдение характеризуется тем, что отбор той части единиц исследуемой совокупности, которая подлежит обследованию, производится строго в случайном порядке в соответствии с требованиями, установленными в теории вероятности;
3) анкетное наблюдение характеризуется тем, что лицам, от которых необходимо получить сведения, рассылают анкеты с просьбой заполнить их и возвратить обратно;
4) монографическое наблюдение характеризуется тем, что в составе исследуемой совокупности выделяются типические группы. В каждой подлежащей обследованию группе подвергают наблюдению одну (иногда две, три) типичную единицу. Установленные при наблюдении величины признаков рассматривают как типичные (средние) величины для группы в целом. Программа наблюдения при монографическом наблюдении обычно бывает достаточно широкой, т. е. охватывает большое число признаков.
8. Классификация видов эконометрических переменных и типов данных. Проблемы, связанные с данными
В эконометрических моделях в основном используются данные трёх типов:
1) пространственные данные (cross-sectional data);
2) временные ряды (time-series data);
3) панельные данные (panel data).
Пространственными данными называется совокупность экономической информации, которая характеризует различные объекты, однако полученной за один и тот же период или момент времени.
Пространственные данные являются выборочной совокупностью из некоторой генеральной совокупности. Примером пространственных данных может служить комплекс экономической информации по какому-либо предприятию (численность работников, объём производства, размер основных фондов), объёмах потребления продукции определённого вида, данные о ВВП различных стран в каком-либо конкретном году и т. д.
Временными данными называется совокупность экономической информации, которая характеризует один и тот же объект, но за разные периоды времени.
…
необходимо и достаточно выполнения трёх статистических свойств:
1) свойства несмещённости;
2) свойства состоятельности;
3) свойства эффективности.
Сделаем следующие предположения об отклонениях єi:
1) величина єiявляется случайной переменной;
2) математическое ожидание єiравно нулю: М (єi) = 0;
3) дисперсия є постоянна: D(єi) = D(єi) = s 2 для всех i, j;
4) значения єiнезависимы между собой, следовательно, справедливо следующее выражение:
Если данные предпосылки выполняются, то оценки, найденные с помощью метода наименьших квадратов, обладают свойствами несмещённости, состоятельности и эффективности.
Если третье и четвёртое предположения не выполняются, т. е. дисперсия случайных компонент непостоянна и/или значения є коррелируют друг с другом, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, но свойство эффективности – нет.
Величина
называется несмещённой оценкой параметра
если её выборочное математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:
Отсюда следует, что
где ?i – это величина смещения оценки.
Рассмотрим свойство несмещённости МНК-оценок на примере модели парной регрессии.
Необходимо доказать, что оценка
полученная методом наименьших квадратов, является несмещённой оценкой параметра ?1 для нормальной линейной модели регрессии, т. е. необходимо доказать справедливость равенства
Доказательство. Проведём доказательство утверждения
через ковариационную матрицу:
То же самое утверждение
можно доказать в более развёрнутом виде:
Следовательно, оценка
полученная методом наименьших квадратов, является несмещённой оценкой коэффициента ?1 нормальной линейной модели парной регрессии.
Свойство несмещённости оценки
коэффициента ?0нормальной линейной модели парной регрессии, полученной методом наименьших квадратов, доказывается аналогично.
Для модели множественной регрессии доказательство свойства несмещённости оценок параметров ?i, полученных методом наименьших квадратов, целесообразно провести в матричной форме:
Следовательно, оценки
полученные методом наименьших квадратов, являются несмещёнными оценками коэффициентов ?iнормальной линейной модели множественной регрессии.
Величина
является состоятельной оценкой параметра
если она удовлетворяет закону больших чисел. Суть закона больших чисел состоит в том, что с увеличением выборочной совокупности значение оценки
стремится к значению параметра
генеральной совокупности:
…
Индекс детерминации характеризует, на сколько процентов построенная модель регрессии объясняет вариацию значений результативной переменной относительно своего среднего уровня, т. е. показывает долю общей дисперсии результативной переменной, объяснённой вариацией факторных переменных, включённых в модель регрессии.
Коэффициент множественной детерминации также называется количественной характеристикой объяснённой построенной моделью регрессии дисперсии результативной переменной. Чем больше значение коэффициента множественной детерминации, тем лучше построенная модель регрессии характеризует взаимосвязь между переменными.
46. Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели регрессии. Проверка гипотезы о линейной зависимости между переменными модели регрессии
На нелинейные модели регрессии, которые являются внутренне линейными, т. е. сводимыми к линейному виду, распространяются все методы проверки гипотез, используемые для классических линейных моделей регрессии.
Таким образом, если внутренне линейную модель регрессии можно свести к линейной модели парной регрессии, то на эту модель будут распространяться все методы проверки гипотез, используемые для парной линейной зависимости.
Проверка гипотезы о значимости линейной модели множественной регрессии состоит в проверке гипотезы значимости индекса детерминации R2.
Рассмотрим процесс проверки гипотезы о значимости индекса детерминации.
Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости индекса детерминации, т. е.
Н0:R2=0.
Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости индекса детерминации, т. е.
Н1:R2?0.
Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.
Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора, и называется критическим.
При проверке значимости индекса детерминации критическое значение F-критерия определяется как Fкрит(a;k1;k2), где а – уровень значимости, k1=l-1 и k2=n-l – число степеней свободы, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров.
При проверке основной гипотезы вида Н0:R2=0 наблюдаемое значение F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле:
При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл›Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости индекса детерминации отвергается, и он признаётся значимым. Следовательно, полученная модель регрессии также признаётся значимой.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл=Fкрит, то основная гипотеза о незначимости индекса детерминации принимается, и он признаётся незначимым. Полученная модель регрессии является незначимой и нуждается в дальнейшей доработке.
Если в начале эконометрического моделирования перед исследователем стоит выбор между моделью регрессии, внутренне нелинейной и линейной моделью регрессии (или сводящейся к линейному виду), то предпочтение отдаётся линейным формам моделей.
Проверка предположения о возможной линейной зависимости между исследуемыми переменными осуществляется с помощью коэффициента детерминации r2 и индекса детерминации R2.
Выдвигается основная гипотеза Н0о наличии линейной зависимости между переменными. Альтернативной является гипотеза Н1 о нелинейной зависимости между переменными.
Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.
Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.
При проверке гипотезы о линейной зависимости между переменными критическое значение t-критерия определяется как tкрит(а;n-l-1), где а – уровень значимости, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров, (n-l-1) – число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.
При проверке основной гипотезы Н0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:
где ?R-r – величина ошибки разности (R2-r2), которая определяется по формуле:
При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл›tкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о линейной зависимости между переменными отвергается. В этом случае построение нелинейной модели регрессии считается целесообразным.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл?tкрит, то основная гипотеза о линейной зависимости между переменными принимается. Следовательно, взаимосвязь между данными переменными можно аппроксимировать простой линейной формой зависимости.
47. Тесты Бокса-Кокса и Зарембеки выбора модели регрессии
Если в начале эконометрического моделирования перед исследователем стоит выбор между моделью регрессии, внутренне нелинейной и линейной моделью регрессии (или сводящейся к линейному виду), то предпочтение отдаётся линейным формам моделей.
Однако многие модели регрессии различной функциональной формы нельзя сравнивать с помощью стандартных критериев (например, сравнение по множественному коэффициенту детерминации, или суммам квадратов отклонений), которые позволили бы подобрать наиболее подходящую модель регрессии.
Например, если перед исследователем стоит вопрос о выборе линейной или логарифмической моделями регрессии, то использовать при этом критерий суммы квадратов отклонений нельзя, потому что общая сумма квадратов отклонений для логарифмической модели намного меньше, чем для линейной модели регрессии. Это вызвано тем, что значение логарифма результативной переменной logy намного меньше, чем соответствующее значение у, поэтому сравнение сумм квадратов отклонений моделей даёт неадекватные результаты.
Если сравнивать данные модели по критерию коэффициента множественной детерминации, то мы вновь получим неадекватные результаты. Коэффициент множественной детерминации для линейной модели регрессии характеризует объяснённую регрессией долю дисперсии результативной переменной у. Индекс детерминации для логарифмической модели регрессии характеризует объяснённую регрессией долю дисперсии переменной logy. Если значения данных критериев примерно равны, то сделать выбор между моделями регрессии с их помощью также не представляется возможным.
Одним из методов проверки предположения о возможной линейной зависимости между исследуемыми переменными является метод проверки гипотезы о линейной зависимости между переменными с помощью коэффициента детерминации r2 и индекса детерминации R2.
Другим методом выбора функциональной зависимости между переменными является тест Бокса-Кокса.
Предположим, что перед исследователем стоит задача выбора между линейной и логарифмической моделями регрессии. Рассмотрим применение теста Бокса-Кокса на данном примере.
Тест Бокса-Кокса основывается на утверждении о том, что (у-1) и logy являются частными случаями функции вида
В том случае, если параметр ? равен единице, то данная функция принимает вид F=y-1.
В том случае, если параметр ? стремиться к нулю, то данная функция принимает вид F=logy.
Для того чтобы определить оптимальное значение параметра ?, необходимо провести несколько серий экспериментов с множеством значений данного параметра. С помощью такого перебора можно рассчитать такое значение параметра ?, которое даст минимальную величину критерия суммы квадратов отклонений. Подобный метод вычисления оптимального значения параметра называется поиском на решётке или на сетке значений.
П. Зарембеки разработал один из вариантов теста Бокса-Кокса специально для случая выбора между линейной и логарифмической моделями регрессии.
Суть данного теста заключается в том, что к результативной переменной у применяется процедура масштабирования. Подобное преобразование в дальнейшем позволит сравнивать величины сумм квадратов отклонений линейной и логарифмический моделей регрессий.
Тест Зарембеки реализуется в несколько шагов:
1) рассчитывается среднее геометрическое значений результативной переменной у по формуле:
2) все результативные переменные у масштабируются по формуле:
…
Работу прислала: Юлия.
Скачать всю работу:
СКАЧАТЬ ТУТ
|
