Реферат на тему: Функция и ёё свойства.

Реферат на тему: Функция и ёё свойства.

Фрагменты работы:

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х — независимая переменная или аргумент.
Переменная у — зависимая переменная
Значение функции — значение у, соответствующее заданному
значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
Убывающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

Элементарные функций и их свойства:

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность — функция, заданная формулой у=kx, где к?0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.
Cвойства функции y=kx:
1. Область определения функции — множество всех действительных чисел
2. y=kx — нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция — функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
Свойства функции y=kx+b:
1. Область определения — множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая .

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k?0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k/x:
1. Область определения — множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k/x- нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+?) и на промежутке (-?;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-?;0) и на промежутке (0;+?).
Графиком функции является гипербола.
5) Функция y=x2
Свойства функции y=x2:
1. Область определения — вся числовая прямая
2. y=x2 — четная функция
3. На промежутке [0;+?) функция возрастает
4. На промежутке (-?;0] функция убывает
Графиком функции является парабола.

6) Функция y=x3
Свойства функции y=x3:
1. Область определения — вся числовая прямая
2. y=x3 -нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола

7) Степенная функция с натуральным показателем — функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2. График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее прижимаются» к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3. График функции напоминает кубическую параболу.

8) Степенная функция с целым отрицательным показателем — функция, заданная формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x-2:
1. Функция определена при всех x?0
2. y=x-2 — четная функция
3. Функция убывает на (0;+?) и возрастает на (-?;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9) Функция y=?х
Свойства функции y=?х:
1. Область определения — луч [0;+?).
2. Функция y=?х — общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+?).

10) Функция y=3?х
Свойства функции y=3?х:
1. Область определения — вся числовая прямая
2. Функция y=3?х нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11) Функция y=n?х
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=?х. При нечетном n функция y=n?х обладает теми же свойствами, что и функция y=3?х.

12) Степенная функция с положительным дробным показателем — функция, заданная формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr:
1. Область определения- луч [0;+?).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+?).

13) Степенная функция с отрицательным дробным показателем — функция, заданная формулой y=x-r, где r- положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x-r:
1. Обл. определения — промежуток (0;+?)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+?)

14) Квадратичная функция — функция, заданная формулой y=ax 2 + bx + c
где a ? 0 , a, b, c – некоторые числа, x – переменная.
Свойства функции y=ax 2 + bx + c:
1. D(y) = R.
2. Если b ? 0, c ? 0, то функция y=ax 2 + bx + c ни четная, ни нечетная.
3. Точки пересечения с осями координат:
с осью Ox: если y = 0, то ax 2 + bx + c = 0, откуда x1 и x2 – корни квадратного уравнения.
с осью Oy: если x = 0, то y = c
4. Функция убывает на (-?;xb], возрастает на [xb;+?) если ax 2 + bx + c > 0
Функция убывает на [xb;+?), возрастает на (-?;xb] если ax 2 + bx + c > 0
5. Наибольшее заначение функции y=ax 2 + bx + c, a < 0 достигается в вершине
и равно yb , наименьшего нет.
6. Наименьшее заначение функции y=ax 2 + bx + c, a > 0 достигается в вершине
и равно yb , наибольшего нет.
7. Графиком функции является парабола.

15) Свойства функции у = sinx и ее график:
Свойства:
1. D(y)=R.
2. Е(у)=[-1;1].
3. Функция у = sinx — нечетная, так как по определению синуса тригонометрического угла sin(-x) = — y/R = -sinx, где R — радиус окружности, у — ордината точки (рис).
4. Т = 2л — наименьший положительный период. Действительно,
sin(x+?) = sinx.

5. Точки пересечения с осями коор-динат:
с осью Ох: sinx = 0; х = ?n, n?Z;
с осью Oy: если х = 0, то у = 0,
6. Промежутки знакопостоянства:
sinx > 0, если x?(2?n; ? + 2?n), n?Z;
sinx < 0, если х?( ? + 2?n; 2?+?n), n?Z.
Знаки синуса в четвертях
у > 0 для углов а первой и второй четвертей.
у < 0 для углов ее третьей и четвер¬той четвертей.
7. Промежутки монотонноти:
y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-?/2 + 2?n; ?/2 + 2?n],
n?z и убывает на каждом из промежутков [?/2 + 2?n; 3?/2 + 2?n], n?z .
8. Точки экстремума и экстремумы функции:
xmax = ?/2 + 2?n, n?z; ymax = 1;

ymax = -?/2 + 2?n, n?z; ymin = -1.

…

Шпаргалки прислал: Шагин. 
.

Скачать весь реферат:

СКАЧАТЬ ТУТ